「I don’t know what you’re talking about」の様に文の最後に前置詞を使用することは可能ですか？

はい、可能です。この文の場合は、ないと不完全な文になってしまいます。
文によって、前置詞が最後に①必ず必要な場合と、②必ずしも必要ない場合があります。

①前置詞が必ず必要な場合：

I don’t know what you’re talking about.
（私は、あなたが何の話をしているのか分かりません）

I don’t know what you’re talking. Ｘ

②前置詞が必ずしも必要ない場合：

I don’t know where he’s headed.

I don’t know where he’s headed to.
（私は、彼がどこに向かっているのか分からない）
※前置詞「to」を付けると、カジュアルな表現になります

因みに、前置詞の意味も持つ副詞が、句動詞の一部として文の最後に使用されている場合もあります。

The project had many flaws, but they carried on.
（そのプロジェクトにはたくさんの欠陥があったが、彼らは継続した）
※上記の「on」は、動詞「hold」と副詞「on」で構成される句動詞「hold on」の副詞の部分になります

ともに「幸運な」を意味する「lucky」と「blessed」の違いは何ですか？

「lucky」は「運がいい」という意味であり、「blessed」は「恵まれた」という意味になります。

He is lucky that he was able to buy the last one.

彼は最後の一つを買えて、運が良い。

He is blessed with great athleticism.

彼はすごい運動神経に恵まれている。

「汗をかく」という意味の動詞「sweat」の過去形は「sweat」と「sweated」のどちらが正しいですか？

どちらも正しいです。「sweat」と「sweated」は両方とも動詞「sweat」の過去形/過去分詞形です。但し、「sweat」が標準形であり、一般的に使用されます。

He sweat after running to the office from the station.　◯

He sweated after running to the office from the station.　△

参考：Oxford Dictionaries

「（人が）直接会う」という意味で使用される表現は、「in person」と「in-person」のどちらが正しいですか？

どちらも正しいですが、品詞が異なります。

①「in person」は、前置詞「in」と名詞「person」で構成される副詞句となります。

We conduct job interviews in person.

私たちは、採用面接を直接会って行う。

②「in-person」の様に「in」と「person」の間に「-（ハイフン）」が入る場合は、形容詞となります。

We conduct an in-person interview when hiring.

私たちは、採用時に対面の面接を行う。

「AさんとBさんは、交互に〜する」といいたい場合、どの様に言えば良いですか？

一般的に以下のように表します。

「A and B（主語）＋ take（動詞「take」の現在形）＋ turns ＋動名詞」

Adam and Brenda take turns cooking dinner.

AdamとBrendaは、交互に夕食を作る。

尚、「AさんとBさんは、交互に〜した」といいたい場合は、一般的に以下のように動詞「take」を過去形にして表します。

「A and B（主語）＋ took（動詞「take」の過去形）＋ turns ＋動名詞」

Adam and Brenda took turns taking breaks.

AdamとBrendaは、交互に休憩をとった。

句動詞「pick up」を使用して「私の友達を車で迎えに行く」といいたい場合、「pick my friend up」と「pick up my friend」のどちらが正しいですか？

どちらも正しいです。「pick up」の目的語が「my friend」のように一般名詞（句）である場合、目的語は「pick」と「up」の間、「pick up」の後、どちらでも大丈夫です。

pick my friend up　◯

pick up my friend　◯

但し、目的語「my friend」を「him」のような代名詞と入れ替えた場合、「him」は「pick」と「up」の間に置かれる必要があります。

pick him up　◯

pick up him　Ｘ

ともに「絨毯」を意味する「carpet」と「rug」に違いはありますか？

「carpet」は「部屋全体に敷かれる絨毯」であり、

「rug」は「部分的に敷かれる絨毯」です。

He chose wood flooring instead of a carpet for his living room.

彼はリビングの床に、絨毯の代わりに木のフローリングを選んだ。

He bought a rug and placed it in front of his living room sofa.

彼は絨毯を買って、リビングのソファの前に敷いた。

「〇〇につき、〇〇ごとに」という意味を持つ「per」の後に続く名詞は、必ず単数形になりますか？

いいえ、複数形も使用される可能性があります。

①「per」の後に単数形の名詞が続く場合：

「per ＋〇〇（単数形の名詞）」

The hotel is $200 per night.

そのホテルは、一泊（につき）200ドルである。

②「per」の後に複数形の名詞が続く場合：

「per ＋ △（基数）＋〇〇（複数形の名詞）」

The treatment is $20 per 30 minutes.

その施術は、30分（につき）20ドルである。

「シャツ」は、英語では「shirts」のように語尾に「s」をつける必要はありますか？

日本語では、一枚でも「シャツ」のように語尾に「s」が付いているような発音になりますが、英語では一枚のシャツの場合は、単数形の「shirt」になり、語尾に「s」は付きません。二枚以上のシャツの場合は、複数形の「shirts」になります。

I spilled soup on my shirt at lunch today.

私は今日のお昼、シャツにスープをこぼしてしまった。

I bought two new shirts last weekend.

私は先週末、二枚の新しいシャツを買った。

I have to take several shirts for my week-long business trip.

私は1週間の出張の為に、シャツを何枚か持っていかなければいけない。

「fast」は形容詞と副詞、どちらですか？

「fast」は形容詞でもあり、副詞でもあります。

形容詞の場合、一般的に「速い」という意味で使用され、
副詞の場合、一般的に「速く」という意味で使用されます。

The car is fast. （形容詞「fast」は、主語「car」の補語になります/叙述用法）

その車は速い。

The fast car passed by. （形容詞「fast」は、名詞「car」を修飾しています/限定用法）

速い車が通り過ぎた。

The car runs fast.（副詞「fast」は、動詞「run」を修飾しています）

その車は速く走る。

※「fast」は、動詞で「断食する」という意味もあります
（「fasting」は、名詞で「断食」という意味になります）

難易度：6/10
関連リンク：「quick」と「quickly」の違いは何ですか？