「それは、Aさんのせいだ」といいたい場合、どのようにいえばよいでしょうか？

一般的に以下のように表します。

「It’s ＋ A’s ＋ fault」

It’s Adam’s fault.

それはAdamのせいだ。

尚、「〜が起こったのは、Aさんのせいだ」といいたい場合は、以下のように表します。

「It’s ＋ A’s ＋ fault ＋ that ＋節」

It’s Adam’s fault that the deal fell through.

その取引が失敗に終わったのは、Adamのせいだ。

三人称単数の所有代名詞は「its」ですか？

はい、そうです。但し、一般的に「own」と一緒に使用されます。

The next generation AI robot will have a mind of its own.

次世代のAIロボットは、それ自身の心を持つだろう。

参考：Cambridge Dictionary

代名詞の一覧表は以下のようになります。

発音は全く一緒なので、口頭では区別がつきませんが、単語として違う意味を持つので、注意しましょう。

① まず「it’s」は「it is」の省略形であり、「それは（～です）」という意味です。
「It（それ）」は、主語であり、「is（は）」は、現在形のbe動詞です。

It’s a long drive from Los Angeles to San Francisco.
(It is a long drive from Los Angeles to San Francisco.)

ロサンゼルスからサンフランシスコまでは長いドライブです。

また、現在進行形（be動詞+(動詞)-ing）の文の始まりにも使われます。

It’s raining right now.
(It is raining right now.)

今は雨が降っている。

②「Its」は「it」の所有代名詞で、「その～」と言う意味になります。「I（私）」でいう、「my（私の～）」と同じ使い方です。

The company uses a Hollywood actor for its new commercial.

ある会社はハリウッドの俳優をその会社の新しい広告に使用している。