「I don’t know what you’re talking about」の様に文の最後に前置詞を使用することは可能ですか？

はい、可能です。この文の場合は、ないと不完全な文になってしまいます。
文によって、前置詞が最後に①必ず必要な場合と、②必ずしも必要ない場合があります。

①前置詞が必ず必要な場合：

I don’t know what you’re talking about.
（私は、あなたが何の話をしているのか分かりません）

I don’t know what you’re talking. Ｘ

②前置詞が必ずしも必要ない場合：

I don’t know where he’s headed.

I don’t know where he’s headed to.
（私は、彼がどこに向かっているのか分からない）
※前置詞「to」を付けると、カジュアルな表現になります

因みに、前置詞の意味も持つ副詞が、句動詞の一部として文の最後に使用されている場合もあります。

The project had many flaws, but they carried on.
（そのプロジェクトにはたくさんの欠陥があったが、彼らは継続した）
※上記の「on」は、動詞「hold」と副詞「on」で構成される句動詞「hold on」の副詞の部分になります

「Whom are you waiting for?」と「For whom are you waiting?」、どちらが正しいですか？

どちらも正しいです。上記の様に「whom」が関節目的語を指す場合、前置詞「for」が疑問文の最後に来ても、最初に来ても（「whom」の前）、意味は変わりません。他の前置詞でも同様です。

To whom are you going to send the letter?

Whom are you going to send the letter to?

あなたは、その手紙を誰に送るのですか？

「午後7時頃」といいたい場合、「at around 7 p.m.」で合っていますか？

「At」と「around」は、両方とも前置詞です。従って、「at around」という表現は、よく使用されるのを見かけますが、正しくありません。正しくは、「around 7 p.m.」になります。「At」は「〜時（ちょうど）に」、「around」は「〜頃に」という意味になる為、意味的にも矛盾が生じます。

The meeting will be held at 7 p.m.

ミーティングは、午後7時に行われます。

The meeting will be held around 7 p.m.

ミーティングは、午後7時頃に行われます。

尚、「around」に似た意味を持つ単語である「about」と「approximately」が、時刻の前に来る場合、両単語とも「約、大体、およそ」という意味しか持たない副詞である為、時を表す前置詞「at」が前に来る必要があります。

The meeting will be held about 7 p.m.　Ｘ

The meeting will be held at about 7 p.m.　◯

The meeting will be held approximately 7 p.m.　Ｘ

The meeting will be held at approximately 7 p.m.　◯

難易度：7/10
関連リンク：「On time」と「in time」の違いは？