質問に対して「答えるのを控えさせていただきたい」と丁寧に断りたい場合、どのようにいえばよいでしょうか？

一般的に「I’d rather not say」または「I prefer not to say」といいます。

Aさん：Is there a candidate whom you support in the upcoming election?

Bさん：(I’m sorry but) I’d rather not say.

「I questioned him」と「I asked him a question」は同じ意味になりますか？

両方とも「私は彼に質問をした」という意味になります。但し、動詞「question」は「疑う」、「問いただす」という意味も持つ為、ただ「質問する」といいたい場合は、動詞「ask」を使用した方が無難です。

I asked him what he wants.

私は彼に何が欲しいのか聞いた。

I questioned what he really wants.

私は彼が本当は何が欲しいのか（何を企んでいるのか）疑った。

どちらでもほとんど同じ使い方ですが、「may」の方がより丁寧な表現になります。

Can I borrow the scissors?

「貸してもらってもいいですか？」と、言うようなニュアンスになります。

May I borrow the scissors?

「お借りしても宜しいでしょうか？」と、言うようなニュアンスになります。

参考：Oxford Dictionaries