待ち合わせなどで「デパートで」といいたい場合、どの前置詞を使用すれば良いでしょうか？

前置詞「at」を使用して、「at the department store」といいます。

尚、「in the department store」と、前置詞「in」を使用した場合「デパートの中」になります。

地図上で位置を示す前置詞を図でイメージすると、以下の通りになります。

「近い」という意味を持つ「close」と「near」に違いはありますか？

「Close」と「near」は距離や時間が近いと表す為に使用される単語であり、殆どの場合で入れ替えて使用することが可能です。但し、関係の近さ（深さ）を表す場合には、「near」は使用できません。

物理的な距離を表す場合：

His house is close to the station.　◯

His house is near the station.　◯

彼の家は駅に近い。

※ 「Close」を使用する場合、「to（前置詞）」を後に加える必要があります。

関係の近さ（深さ）を表す場合：

She is close to him.　◯

彼女は彼に（関係的に）近い。

She is near him.　Ｘ

※「彼女は彼に（距離的に）近い」なら可。