「第一月曜日」といいたい場合、どのようにいえば良いでしょうか？

「the first Monday」といいます。

「第〇（の）〇曜日」といいたい場合は、一般的に以下のように表します。

「the ＋序数＋曜日」

The report is due on the first Monday.

そのレポートは、第一月曜日が締め切りです。

「〇月の第〇（の）〇曜日」といいたい場合は、一般的に以下のように表します。

「the ＋序数＋曜日＋ of ＋月」

The report is due on the second Tuesday of April.

そのレポートは、4月の第二火曜日が締め切りです。

また、「毎月第〇（の）〇曜日」といいたい場合は、一般的に以下のように表します。

「every ＋序数＋曜日」

The monthly report is due every third Wednesday.

その月間レポートは、毎月第三水曜日が締め切りです。

冠詞「the」には複数の発音がありますか？

はい、「the」には「thuh」と「thee」の二つの発音があります。これらの使い分けは冠詞「a」と「an」の場合と同じです。ネイティブの中には感覚的に使い分けている人もいれば、知らない人もいます。

① 子音（「a, e, i, o, u」以外のアルファベット）の音で始まる単語の前の場合、「thuh」の発音になります。

I went to the（「thuh」）library.

私は図書館に行きました。

② 母音（「a, e, i, o, u」のアルファベット）の音で始まる単語の前の場合、「thee」の発音になります。

I went to the（「thee」）art museum.

私は美術館に行きました。

上記の例外として、続く単語が子音の音で始まる場合でも、それを強調したり重要であることを主張する為に、「thee」の発音が使用されることがあります。

He’s the（「thee」） leader of the（「thuh」）team.

彼は、チームのリーダーである。

What’s the（「thee」）name of the（「thuh」）store?

そのお店の名前は何ですか？

参考：Merriam-Webster Dictionary

特にルールはないようです。アメリカ政府が指定している頭字語でも、含まれる場合もあれば、含まれない場合もあります。

前置詞（of）の場合：

BLS = Bureau of Labor Statistics（労働統計局）
※「of」が頭字語から除外

FOIA = Freedom of Information Act（情報公開法）
※「of」が頭字語に含まれる

冠詞（the）の場合：

DOI = Department of the Interior（内務省）
※「the」が頭字語から除外

SCOTUS = Supreme Court of the U.S.（アメリカ合衆国最高裁判所）
※「the」が頭字語に含まれる

接続詞（and）の場合：

FDA = Food and Drug Administration（食品医薬品局）
※「and」が頭字語から除外

NHANES = National Health and Nutrition Examination Survey（国民健康栄養調査）
※「and」が頭字語に含まれる