「Neither」の後に来る名詞は、単数形ですか？それとも複数形ですか？

単数形です。従って、動詞も単数形になります。

Neither candidate proposes a solution to the problem.

どちらの候補者も、問題の解決策を提案していない。

「either」も同様で、後に来る名詞は単数形になります。従って、動詞も単数形になります。

Either day is convenient for all of us.

どちらの日も私たちにとって、都合が良いです。

但し、「neither of」と「either of」の後には、複数形の名詞または代名詞が来ます。動詞は単数形でも複数形でも大丈夫ですが、複数形の方がカジュアルです。

Neither of the meeting rooms is available.　（フォーマル）

どちらの会議室も空いていません。

Either of them sound good.　（カジュアル）

どちらも都合が良いです。

参考：Oxford Dictionaries

「Either cat or dog is」と「either cat or dog are」、どちらが正しいですか？

「Cat」と「dog」と単数のもの同士を比べている為、三人称単数の「is」が正しいです。しかし、複数のもの同士を比べたり、単数のものと複数のものを比べる場合には、三人称複数の「are」になる場合もあります。

① 単数のものと単数のものを比べる場合：

Either Monday or Tuesday is OK.

月曜日と火曜日、どちらでも大丈夫です。

② 複数のものと複数のものを比べる場合：

Either two forks or two chopsticks are OK.

フォーク2個と箸2膳、どちらでも大丈夫です。

③ 単数のものと複数のものを比べる場合は、「proximity rule（接近のルール）」と言って、動詞に近い名詞（主語）に合わせます。

Either two sedans or one van is OK.

Either one van or two sedans are OK.

バン1台とセダン2台、どちらでも大丈夫です。

日本語にすると、両方とも「◯◯も」と訳され、（話し手への）同意を示すための副詞ですが、使い方に大きな違いがあります。

①「Too」は、肯定の文章への同意を示す場合に使用します。

I went to the mall on Sunday, too.

私も日曜日にモールへ行きました。

②「Either」は、「not～＋ either」の形で、否定の文章への同意を示す場合に使用します。

I didn’t go to the mall on Sunday either.

私も日曜日にモールへ行きませんでした。