英語でも、コンビニやスーパーでもらう「ビニール袋」のことを「vinyl bag(ビニール袋)」といいますか?

いいえ、一般的に「plastic bag(プラスチック袋)」といいます。以下のGoogleの検索結果をご参照ください。

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「コンビニ」は、英語では「convenient store」と「convenience store」どちらが正しいですか?

「Convenience store」が正しいです。「Convenient」は「便利な」という意味を持つ形容詞である為、「convenient store」は「便利な店」という意味になり、コンビニに限らず、どんな便利な店も指すことが可能です。一方、「convenience」は「便利(さ)、利便性」という意味を持つ名詞であり、「convenience store」が、「コンビニ」の英語の名称になります。

The new mall will have many convenient stores for local residents like supermarkets and restaurants.

新しいモールには、スーパーやレストランなど近隣の住民に便利な店が出店する予定です。

Seven-Eleven Japan Co. has the most convenience stores in Japan.

セブンイレブンは、日本で一番多くのコンビニ店舗を構えている。

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