両方とも「たくさんの〜」の意味で、可算名詞、不可算名詞のどちらにも使用できます。「Lots of～」は、少々カジュアルなニュアンスとなります。
① 可算名詞の場合は、「たくさんの〜」なので、複数形になります。
A lot of students came to the party. ◯
Lots of students came to the party. ◯
たくさんの生徒たちがパーティーに来た。
② 不可算名詞の場合は、複数形は存在しないので、単数扱いとなります。
A lot of water spilled on the carpet. ◯
Lots of water spilled on the carpet. ◯
たくさんの水がカーペットにこぼれた。
難易度：4/10
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文の動詞の形（単数・複数）に迷ったら、文の主語を考えると分かりやすいです。今回は、「color」ではなく、「his shoes」が主語である為、「are」が正解です。
質問に対する回答の文を最初に考えた方が、分かりやすいと思います。
His shoes are blue.
彼の靴（複数）は青である。
「His shoes」（主語）が複数である為、「are」になります。
※靴は一般的に複数で表現されます。他の主な複数扱いの名詞は以下になります。
Earphones
Glasses（グラスではなく、メガネ）
Gloves
Goggles
Jeans
Pants
Scissors
Shoes
Shorts
Socks
※これらの単語の前には、よく「a pair of」（ペアの/対になった）が付きます。例えば、「a pair of jeans」と言う場合、（対になって）一つと考えるので、動詞は「is」になります。
His pair of jeans is always torn at the knees.
彼のジーンズはいつも膝のところが破れている。
難易度：5/10
関連リンク：「One of」の後に来る名詞は単数、それとも複数？