「as tall as me」と「as tall as I」、どちらが正しいですか？

どちらも正しいです。二つ目の「as」の品詞（前置詞、接続詞）により続く単語が決まります。

二つ目の「as」が前置詞の場合：

前置詞の後には名詞（句）のみを続けることができるので、「me」が続きます。

He is as tall as me.

二つ目の「as」が接続詞の場合：

接続詞の後には節（主語＋動詞）のみを続けることができるので、「I am」が続きます。尚、動詞「am」は口語では省略されることが多いです。

He is as tall as I (am).

口語では、「as me」の方が「as I」よりよく使用されます。