「合計（で）10人」といいたい場合、「totally 10 people」といいますか？

いいえ、一般的に「a total of 10 people」または「10 people in total」といいます。

There were a total of 10 people at the party.

There were 10 people in total at the party.

そのパーティーには合計10人がいた。

また、上記の「in total」の「in」を省略することも可能です。

There were 10 people total at the meeting.

尚、「totally」は一般的に「全く、完全に」という意味を持つ副詞として使用されます。

The rumor is totally false.

その噂は完全に嘘である。

「All together」と「altogether」の違いは何ですか？

「All together」と二つに分けて使う場合、「all」は「みんな、全員、全部」、「together」は「一緒」なので、「みんな一緒に、同時に」という意味になります。一方、「Altogether」は、「全体的に、完全に」という意味を持つ副詞です。

The students met all together in one room.

生徒たちは、みんな一緒に一つの部屋に集まった。

The plan for the next project was cancelled altogether.

次のプロジェクトの計画は完全に取り消しになった。