どちらも「I will not」の短縮形であり、入れ替えて使用が可能です。

但し、「I won’t」の方が一般的に使用されます。

I’ll not watch that movie.　〇

I won’t watch that movie.　◎

主語「I」以外の代名詞の場合でも同じです。

You’ll not watch that movie.　〇

You won’t watch that movie.　◎

He’ll not watch that movie.　〇

He won’t watch that movie.　◎

They’ll not watch that movie.　〇

They won’t watch that movie.　◎

We’ll not watch that movie.　〇

We won’t watch that movie.　◎

参考：The Longman Grammar of Spoken and Written English
難易度：6/10

関連リンク：「I’ve not」と「I haven’t」を入れ替えて使用することは可能ですか？