「another one」を使用するのが正しいです。「another one」は「これと同じものをもう一つ」という意味になりますが、「the other one」は「これとは別のもの」という意味になります。

①「another one」の場合：

Waiter: “Would you like another one?”

「これと同じものをもう一ついかがですか？」

Customer: “Can I please get another one?”

「これと同じものをもう一ついただけますか？」

※元々「another」は「an」と「other」で構成されている為、冠詞は必要ありません

②「the other one」の場合：

Waiter: “Would you like to try the other one?”

「これとは別のものを試してみますか？」

Customer: “Can I please get the other one?”

「これとは別のものをいただけますか？」

難易度：6/10
関連リンク：「each other」と「one another」の違いは何ですか？