それぞれ以下のように使用されます。

①「in first place」は、主にbe動詞に続いて使用され、「1位である」という意味になります。

He is currently in first place.

彼は、現在1位である。

②「in the first place」は、「そもそも、初めから」という意味になります。

It was his fault in the first place.

それは、そもそも彼のせいだった。

難易度：5/10
関連リンク：「just in case」の代わりに「just in the case」または「just in this case」を使用することはできますか？

はい、あります。

①「in first place」は「１位」という意味になります。

He was in first place until the final corner.

彼は最終コーナーまで1位だった。

②「in the first place」は「そもそも、まず第一に」という意味になります。

The project was doomed to fail in the first place.

そのプロジェクトは、そもそも失敗する運命であった。

難易度：5/10
関連リンク：「first」と「firstly」に違いはありますか？