「may」と「might」は、ほとんど同じように使用され、言い換え可能です。文脈によりどちらかがより好まれることもありますが、間違いになることはありません。二つの単語の主な使用は以下の通りになります。

① 現在（近い未来）の可能性のことを表す場合に使用されます。

It may rain in the afternoon today.

It might rain in the afternoon today.

今日の午後に雨が降るかもしれない。

※ある文法の本によると、（何かが起こる/起こらないの）可能性がどちらかというと低い場合は「might」で、高い場合は「may」とあります。

② 過去の可能性のことを表す場合に「have」と一緒に使用されます。

I may have been drunk when I said that.

I might have been drunk when I said that.

それを言った時、私は酔っていたかもしれない。

③ 過去に起こりえたけど、実際に起こらなかったもの（出来事）を表す場合に関しては、「might have」の方が一般的に使用されます。偶に「may have」が使用される場合もあります。

If he had studied last night, his grades might have been better.　◯

If he had studied last night, his grades may have been better.　△

もし彼が昨夜勉強をしていたら、彼の成績はもっと良かっただろう。

④ 丁寧に提案するときに使用されます。

You may want to try a different store.

You might want to try a different store.

（あなたは）別の店を当たって見た方が良いかも知れません。

⑤ 丁寧に許可を得る質問をするときに使用されますが、一般的に「may」が使用されます。「may」で既に丁寧であり、「might」はさらに丁寧である為、多くの場面では必要以上に丁寧になる可能性があります。

May I be excused?　◯

Might I be excused?　△

席を外しても宜しいでしょうか？

参考：Merriam-Webster Dictionary

難易度：7/10
関連リンク：「Can」と「could」の違い