「（何か）用事ができた」といいたい場合、どのようにいえば良いですか？

一般的に「something came up」といいます。

Dave won’t come today because something (just) came up.

用事が（ちょうど）できたので、Daveは今日来れません。

尚、「仕事の用事ができた」や「家の用事ができた」といいたい場合、「something came up」の後に「at work」または「at home」を追加します。

Dave couldn’t make it to his dentist’s appointment because something came up at work.

Daveは仕事の用事ができたので、歯医者の予約に行けなかった。

Dave couldn’t attend today’s meeting because something came up at home.

Daveは家の用事ができたので、今日の会議に出席できなかった。