「My brother, Joe」と「my brother Joe」に違いはありますか？

はい、あります。「My brother, Joe」のように「,（コンマ）」がある場合、「my brother」だけで誰のことか特定されるので、名前の「Joe」は追加情報になります。つまり、「私には一人の兄弟しかおらず、彼の名前は『Joe』」ということになります。

I gave my old smart phone to my brother, Joe.

私は、一人しかいない兄弟であるJoeに私の古いスマホをあげた。

尚、「my brother Joe」のように「,（コンマ）」がない場合、「my brotherだけでは誰のことか特定されておらず、特定する為に名前の「Joe」が必要です。つまり、「私の何人かいる兄弟の中のJoe」という意味になります。

I gave my old smart phone to my brother Joe.

私は、何人かいる兄弟の中のJoeに私の古いスマホをあげた。

上記の文の「Joe」は、同格語（別の名詞の隣に来て、別の方法でその名詞を言い表す為の単語）の役割を果たします。尚、同格語が文の主語の後に来る場合は、以下のようになります。

Company A’s competitor, Company B, will introduce a new product.

A社の唯一の競合であるB社は新しい商品を発表する。

※ 追加情報である同格語の場合、「,（コンマ）」で囲む必要があります。

Company A’s competitor Company B will introduce a new product.

A社の複数の競合の一社であるB社は、新しい商品を発表する。