どちらも正しいです。「than」の品詞（前置詞、接続詞）により続く単語が決まります。

「than」が前置詞として使用される場合、「than」の後には目的語の名詞「me」のみが続きます。

He is taller than me.

「than」が接続詞として使用される場合、「than」の後には節（主語 ＋ 動詞）が続きますが、この場合、節「I am」の動詞「am」は省略されることが多いです。

He is taller than I (am).
※「am」が省略されています

口頭では、「than me」の方が「than I」よりよく使用されます。

難易度：７/10
関連リンク：「than」と「then」の発音に違いはありますか？