「I am sorry」は、「ごめんなさい/すみません（私は悪いと思う）」という意味になります。
一方、「I feel sorry」は、「（私は）かわいそうだと思う/気の毒だと思う」という意味になります。
I am sorry for not replying to you earlier.
もっと早くあなたに返信せず、すみません。
I feel sorry that his pet died.
彼のペットが死んでしまって、かわいそうだと思う。
「sorry」の様に「be動詞」と「feel」で違う意味になってしまう場合もありますが、他の形容詞では、同じ様な意味になることもあります。
I am tired（私は疲れている）
I feel tired（私は疲れを感じている）
難易度：6/10
関連リンク：「I got tired」、「I am tired」、「I was tired」の違いは何ですか？