それぞれ以下のように使用されます。
①「last year」は、「去年、昨年」という意味で使用されます。
The Summer Olympics was held last year.
昨年、夏季オリンピックが開催された。
②「the last year」は一般的に前置詞を伴って、「この（直近の）一年」という意味で使用されます。
Oil price has decreased by 15% in the last year.
この（直近の）一年で、石油の価格は15％下落した。
因みに、関係代名詞「that」を伴って、「〜の最後の年」という意味で使用されることもあります。
1992 is the last year that the Summer and Winter Olympics were held in the same year.
1992年は、夏季と冬季のオリンピックが同じ年に開催された最後の年である。
難易度：7/10
関連リンク：「in first place」と「in the first place」はそれぞれどのように使用されますか？