「one of my friends who live in Osaka」が正しいです。関係代名詞「who」に続く説明「live(s) in Osaka（大阪に住んでいる）」は名詞「one」ではなく「my friends」を修飾する為、動詞「live」は三人称複数形になります。
one of my friends who lives in Osaka Ｘ
one of my friends who live in Osaka 〇
大阪に住んでいる、私の（何人かの）友人の一人
尚、「one of my friends who live in Osaka」は文ではなく名詞句になります。従って、こちらを使用して文を作成する場合、主語は「one」である為、続く動詞は三人称単数形になります。
One of my friends who live in Osaka has a car.
大阪に住んでいる、私の（何人かの）友人の一人は車を持っている。
難易度：7/10
関連リンク：関係代名詞である「that」と「who」の使用方法に違いはありますか？