「anyone」、「someone」、「everyone」などの人に使用される不定代名詞は単数形ですが、それらの性別が分からないときに使用される代名詞は「he」と「she」のどちらになりますか？

契約書などフォーマルな書類で「he or she」が使用されることもありますが、一般的には「単数のthey」が使用されます。

Anyone can participate in the event even if he or she didn’t apply beforehand.

Anyone can participate in the event even if they didn’t apply beforehand.

また、所有形容詞に関しては、一般的に「his or her」の代わりに「their」が使用されます。

Someone forgot his or her umbrella.

Someone forgot their umbrella.

尚、再帰代名詞に関しては、一般的に「himself or herself」の代わりに「themselves」が使用されます。

Everyone is expected to cook for himself or herself.

Everyone is expected to cook for themselves.

三人称複数の再帰代名詞は「themselves」と「theirselves」、どちらが正しいですか？

「Theirselves」はアメリカの一部の地方で方言として稀に使用されることがありますが、誤りです。一般的に使用されることは敬遠されています。

They cleaned the rooms themselves. ◯

They cleaned the rooms theirselves. Ｘ

彼らは、自分たちで部屋をきれいにした。