疑問文「Who are you going to the event with?」の文の最後の前置詞「with」は必要ですか？

はい、必要です。ないと不完全な疑問文になってしまいます。
疑問文によって、前置詞が最後に①必要な場合、②必要ない場合、③有無で意味が変わらない場合、 ④有無で意味が変わる場合、があります。

①前置詞が必要な場合：

Who are you going to the event with?
（あなたは、誰とそのイベントに行きますか？）

Who are you going to the event?　Ｘ

②前置詞が必要ない場合：

Where did you leave it at?　Ｘ

Where did you leave it?
（あなたは、それをどこに置いてきましたか？）

③前置詞の有無で意味が変わらない場合：

Where are you headed?
（あなたはどこへ向かうのですか？）

Where are you headed to?
（あなたはどこへ向かうの？）
*前置詞「to」を付けると、カジュアルな表現になります

④前置詞の有無で意味が変わる場合：

Where are you?
（あなたは、今どちらにいますか？）

Where are you from?
（あなたは、どちら出身ですか？）

※疑問文が句動詞で終わる場合：

Can you hold on?
（待ってもらえますか？）
*上記の「on」は、動詞「hold」と副詞「on」で構成される句動詞「hold on」の副詞の部分になります

「誤った情報」という意味を持つ「disinformation」と「misinformation」に違いはありますか？

両方とも「誤った情報」という意味ですが、「故意に間違ったのか」、「過失によって間違ったのか」の違いがあります。

「disinformation」は「人を欺いたり、真実を隠したりするために故意に発信された誤った情報」を表わします。

Authoritarian governments stay in power by spreading disinformation that is convenient for them.

独裁政権は、自分たちに都合の良い情報を流すことで権力を維持する。

「misinformation」は「故意ではなく、過失により発信された誤った情報」を表わします。

A reputable news media do fact-checking to make sure there’s no misinformation.

信頼できる報道機関は、誤報がないように事実確認をする。

難易度：7/10
関連リンク：「interrupt」と「disrupt」に違いはありますか？

「burned」と「burnt」を両方聞いたことがありますが、どちらが正しいですか？

「burned」と「burnt」は両方とも実際の単語であり、「burn」の過去形でもあり、過去分詞でもあるので、どちらを使用しても大丈夫です。
（burn-burned-burned または、burn-burnt-burnt）

「burned」は、イギリス英語とアメリカ英語両方で使用されますが、「burnt」は一般的にイギリス英語で使用されます。

He burned his hand when he was cooking.（米）（英）

He burnt his hand when he was cooking.（英）

彼は料理中に手を火傷した。

他にも、同じように変化する動詞は以下になります。

dreamed/dreamt
kneeled/knelt
learned/learnt
smelled/smelt
spoiled/spoilt
spelled/spelt

※「passed/past」は異なります。
「passed」は、「pass（通る、（時間）が過ぎる、パスを出す）」の過去形と過去分詞ですが、「past」は「過去、過ぎた」という意味を持つ名詞、形容詞、副詞、前置詞になります。

参考：Oxford Dictionaries

難易度：6/10
関連リンク：「日焼け」といいたい場合、どのようにいえばよいですか？

「本当に大きな問題」は、「a really big problem」と「really a big problem」のどちらが正しいですか？

「本当に大きな問題」は、「a really big problem」が正しいです。
尚、「really a big problem」は、「実際には大きな問題」という意味になります。このように、「really」は文のどこに置かれるかにより意味に違いが生じます。

It’s a really big problem.

それは、本当に大きな問題である。

It’s really a big problem.

それは、実際には大きな問題である。

「Aさんは、〇〇を無駄にしたくない」といいたい場合、どのようにいえばよいですか？

一般的に以下のように表します。

「Aさん（主語）＋ doesn’t ＋ want ＋ to ＋ waste ＋〇〇（目的語）」

Adam doesn’t want to waste his money.

Adamは、お金を無駄にしたくない。

They don’t want to waste their time.

彼らは、時間を無駄にしたくない。

※主語が「they」（三人称複数形）なので、「doesn’t」ではなく「don’t」となります

因みに、以下のように書き換えることも可能です。

「Aさん（主語）＋ hates ＋ to ＋ see ＋〇〇（目的語）＋ go to waste」

Adam hates to see his money go to waste.

They hate to see their time go to waste.

※主語が「they」（三人称複数形）なので、「hates」ではなく「hate」となります

句動詞「pick up」を使用して「ゴミを拾う」といいたい場合、「pick the trash up」と「pick up the trash」のどちらが正しいですか？

どちらも正しいです。「pick up」の目的語が「the trash」のように一般名詞（句）である場合、目的語は「pick」と「up」の間、「pick up」の後、どちらでも大丈夫です。

pick the trash up　◯

pick up the trash　◯

但し、目的語「the trash」を「it」のような代名詞と入れ替えた場合、「it」は「pick」と「up」の間に置かれる必要があります。

pick it up　◯

pick up it　Ｘ

「my work」と「my business」に違いはありますか？

「my work」は、「私の仕事」という意味になり、

「my business」は、「私の事業」という意味になります。

The company bought a new computer for my work.

会社が、私の仕事用に新しいパソコンを買った。

I bought a new computer for my business.

私は、私の事業用の新しいパソコンを買った。

※「my business」は、自分が事業主として事業を営んでいる場合に使用されます。

因みに、所有格「my」のない「for work」と「for business」の場合、共に「仕事用」という意味になります。

「another」の後に続く名詞は単数形である必要がありますか？

いいえ、単数形、複数形のどちらも使用される可能性があります。

①「another」の後に単数形の名詞を続ける場合は、

「another ＋〇〇（単数形の名詞）」で

「もう一つの〇〇」、「別の〇〇」という意味になります。

I need to take the seminar for another day.

私は、そのセミナーをもう一日受講する必要がある。

I need to take the seminar on another day.

私は、そのセミナーを別の日に受講する必要がある。

②「another」の後に複数形の名詞を続ける場合は、

「another ＋ △（基数）＋〇〇（複数形の名詞）」で

「もう△つの〇〇」という意味になります。

I need to take the seminar for another 3 days.

私は、そのセミナーをもう3日受講する必要がある。

因みに、「another」の後に不可算名詞を続けることも可能です。その場合、単数形の名詞と同様に「もう一つの〇〇」、「別の〇〇」という意味になります。

They started talking about another news.

彼らは、別のニュースについて話し始めた。

難易度：7/10
関連リンク：「none」は単数扱いですか？それとも複数扱いですか？

「フルーツ」は、英語では「fruits」のように語尾に「s」をつける必要はありますか？

一種類のフルーツの場合は、単数形の「fruit」になります。
二種類以上のフルーツの場合は、複数形の「fruits」になります。

Some consider tomato a fruit while others consider it a vegetable.

トマトをフルーツだと思う人もいれば、野菜だと思う人もいる。

According to a survey, strawberries, peaches and pears are the most popular fruits in Japan.

ある調査によると、いちご、桃、梨は、日本で最も人気のあるフルーツである。

尚、「フルーツ全般」を指す時は、複数形の「fruits」が使用されます。

Fruits and vegetables are essential to a healthy diet.

健康な食生活には、野菜とフルーツは欠かせない。

「quick」と「quickly」の違いは何ですか？

両単語とも副詞で「早く、素早く」という意味を持ちます。但し、「quick」は形容詞として「早い、素早い」という意味も持っています。

He ate it quick.

He ate it quickly.

*フォーマルな文章の場合、「quick」ではなく「quickly」が好んで使用されます。

His reply was quick.

His reply was quickly.　Ｘ